|
SAYILAR ARASINDA YOLCULUK
Rakamların nasıl oluştuğunu, bugün kullandığımız
şeklini ne zaman aldığını biliyor musunuz? Hiç merak ettiniz mi? Fransa'da 6.
Sınıf öğrencileri bir gün kendi aralarında rakamların nereden geldiğini çok
merak ettiklerini tartışıyorlarmış. Matematik öğretmenleri de tartışmaya
katılmış. O da rakamların bu gün kullandığımız şeklini ne zaman aldığı ile
ilgili soruya bir yanıt verememiş. Hemen orada bu konu ile ilgili araştırma
yapamaya karar vermiş. Bu konuda 2000 sayfalık 2 ciltlik dev bir eser ortaya
çıkarmış. Basit bir merak matematiğe çok önemli bir eser kazandırmış. Rakamlar
bizim kullandığımız durumuna gelinceye dek bir çok evreler geçirmiştir. Biz, bu
açıdan çok şanslıyız. Çünkü, her şey önümüze hazır geldi.
Bir öğretmene sormuşlar. "İlkokula yeni başlayan
öğrenciler daha ilk günde aritmetik hakkında ne bilmeleri gerekir?" o da " 1 den
100 e kadar olan sayılarla dost olması gerekir." demiştir. Sayılarla nasıl dost
olabiliriz? Bu en azından toplama işlemini görünce paniğe kapılıp terlemeye
başlamamak demektir. Sayılara her zaman her yerde rastlarız. Bazı özeliklerini
ve en azından aralarındaki bazı ilişkileri biliyoruz. Onlarla ilgili bir çok şey
öğrendik ve bu gerçeklerin bir bölümünü biz kendimiz keşfettik. Hepimiz
beynimizde sayılarla ilgili gerçekleri saklarız. Örneğin 144, 12 nin karesidir.
169, 13 ün karesidir. 16, 32,64,128 ve 512 sayıları 2 nin tam kuvvetleridir.
Bilgisayar meraklıları, bilgisayar belleklerinin tanımında ve bilgisayar
etiketlerinde geçtiği için bu sayıları iyi tanırlar.
Hardy 1729 no lu taksiyle geldiğini ve bu
numaranın ona kendisi için önemsiz gözüktüğünü ve uğursuz bir şey olmamasını
umduğunu söyleyince Ramanajuan hemen şu yanıtı verdi."Hayır, bu çok ilginç
sayıdır; bu iki küp toplamı olarak farklı iki şekilde ifade edilebilen sayıların
en küçüğüdür." 1729=12³ +1³=10³+9³
Sayılarla çalışan herkes, doğal olarak bir çok
yararlı bilgileri depolar. Hepimiz 9 un tek basamaklı kare sayıların en büyüğü
olduğunu biliriz. Bu çok önemli mi? Hayır. Fakat şunu da fark edersiniz; kare
olan sayıdan 1 çıkarınca elde edilen sayı, aralarındaki fark iki olan iki doğal
sayının çarpımıdır. Örneğin; 16-1=15 ve 15 =3.5 benzer olarak siz de böyle bir
çok sayı bulabilirsiniz.
En çok tanıdığımız sayılar karelerdir;
1 4 9 16 25 36 49 64
Bu kareler arasındaki farkın gitgide büyümesi
dikkatimizi çeker.
1 4 9 16 25
36 49 64 81 100 ...
3 5 7 9 11
13 15 17 19
Bir de bakıyorsunuz kare sayıların farkları, tek
sayılar dizisinden başka bir şey değil.
Bu düşünceyi daha önce sözünü ettiğimiz 2 nin
kuvvetleri ile deneyebiliriz.
2 4 8 16 32 64 128
256 ...
2 nin her kuvveti solundaki sayının iki katıdır.
Bu bize 2 nin soluna 1 yazmamız gerektiğini anlatır.
1 2 4 8 16 32 64
128 256 ...
Şimdi de farkları yazalım:
1 2 4 8 16 32 64
128 256 ...
1 2 4 8 16 32 64
128 256 ...
Görüyoruz ki farklar dizisi orijinal dizinin
tekrarı oluyor. Demek ki kareler dizisinden hayli farklı bir dizi ile
karşılaştık sorusunun yanıtı hayırdır.
Küpler dizisini düşünelim:
1 8 27 64 125 216
343 512 ...
Bu dizi kareler dizisinden daha çabuk büyüyor. Ne
kadar hızlı büyüdüğünü fark etmek için farklarını yazalım.
1 8 27 64 125 216
343 512 ...
7 19 37 61 91 127
169
12 18 24 30 36 42
En alt dizi farkların farkıdır. O da artıyor ama o
kadar hızlı değil. Her seferinde 6 artıyor. Böyle örnekleri çoğaltabiliriz.
Hatta matematikçiler son yazdığımız diziye bakarak diğer tüm dizilerde 6 nın
gizini aramışlardır. Örneğin; küplerin farkını şöyle yazmışlar:
1 8 27 64
125 216 343 512 ...
1x6+1 3x6+1 6x6+1 10x6+1
15x6+1 21x6+1 28x6+1
Bu durumda 6 nın çarpıldığı sayıların bir özelliği
olduğundan şüphelenilir. 6 nın çarpıldığı sayıları sırasıyla yazalım.
1 3 6 10 15 21 28
36 45 ...
Matematikçiler problemler hakkında şöyle derler: "Bir problem diğerine yol açar
ve bir doğru düşünce bir çok düşünceye götürür insanı."
Şimdi bu dizinin oluşturduğu sayıların farkına bakalım:
1 3 6 10 15 21 28
36 45 ...
2 3 4 5 6 7
8 9 ...
6 ile çarpılan sayılar dizisi arasındaki farkların
farkları bizi 1 in eksik olduğu doğal sayılar dizisine götürür. Bu özellik bize
dizinin 1 le başlaması gerektiğini düşündürür. Bu ise ancak küpler dizisinin 0
ile başlaması ile mümkündür. Bakın sayılar arasında yaptığımız yolculuk bizi
nasıl ilginç sonuçlara götürdü. Böyle bir çok modeller oluşturabiliriz.
Fransız bir hakim olan Fermat matematikle amatörce
uğraşıyordu. O da sayıların arasındaki bazı gizleri keşfetmişti. Fermat her tam
sayının dört karenin toplamı olduğunu ileri sürmüştü. Fakat bir çok tam sayı ise
dörtten az karenin toplamıdır. Fakat 7 asla üç karenin toplamı değildir.
İngilizce'de "Ne demek istediğini anlıyorum" yerine " Ne demek istediğini
görüyorum" derler. Modern İngilizce'de "görmek" ekseriya "anlamak" yerine
kullanılır. Matematikte görüş, doğruca önümüzdeki bir şeye bakmaktan mecazi
anlamda "görmeye" kadar değişir. Sylvester, matematiğin "farkların benzerliği
ile benzerliklerin farkını anlamak" olduğunu söyler. Matematikçiler ilişkileri
ve bağlantıları görürler, ayrıca fark edilmesi zor özellikleri de algılarlar.
Bunu geometride grafikleri çizerken aritmetik ve cebirde olduğu kadar kolaylıkla
yaparlar.
Şimdi bazı matematik bilmecelerinin yanıtlarını
birlikte arayalım:
1.
1 den daha küçük olan en büyük sayı nedir?
2.
Hepimiz farklıyız, sonsuz sayıdayız, hepimiz birbirimize eşitiz.
3.
Bir üçgenin merkezi neresidir?
4. Ben bir sayıyla o sayıyı daha küçük veya daha büyük
yapmadan çarpılırım. Ben neyim?
5. Kendimle çarpılınca kendime eklenirim. Ben neyim?
6.
Sürekli dönerim ama asla çıkış noktasına ulaşamam.
Soruların yanıtını verdikten sonra biraz
düşünelim. Matematik yaşam boyu yaptığımız en güzel yolculuktur. Sayıla bizi
bir çok bilinmeyenin içinde gezdirir ve çoğu kez yolculuğumuz bilinenlerin
içinde sona erer.
Matematik ister günlük yaşamda saymak ve ölçmekte,
ister problem ve bilmeceleri çözmekte, ister füzeler, yüzen cisimler,
kaldıraçlar, teraziler veya manyetik kuvvet çizgilerini bilimsel olarak
incelemekte kullanılsın, eninde sonunda köklerinden kopar ve kendi yaşamını
yaşamaya başlar. Böyle yapmakla daha kuvvet kazanır; çünkü artık yalnız belli
durumlarda değil, benzer bütün durumlarda kullanılacaktır. Böylece daha soyut
daha oyunvari olur. Sonra ne olur? Deneyim arttıkça oyun daha iyi oynanır. İlk
bulunduğunda şaşırtıcı olan sonuçlar; giderek daha tanıdık, açık, hatta apaçık
hal alır. Artık esrarlı ve uğraştırıcı bir yanı kalmamıştır. Giderek daha fazla
sayıda problem standart yöntemlerle çözülecektir. Ve böylece kullanılabilen
tekniklerin ufku genişleyecektir. Bu nedenle uygulamalar giderek kolaylaşacak
ve en kuvvetli matematikçilerin dikkatini gerektiren zor ve uğraştırıcı
problemleri bulmak zorlaşacaktır.
Rakamların günümüze değin yapmış olduğu yolculuğu
incelersek bu gün ne denli şanslı olduğumuza seviniriz.
| 
